今天終於心血來潮,可以寫這篇了。

先以玩家拿15點、面對莊家7點牌面聊聊吧。

滿多玩家面對這樣的牌局,會選擇停牌,原因不外乎玩家補爆牌的機率太高(約58%)、就算沒補爆也不一定會贏,以及玩家補爆後,籌碼就被Dealer收走了,之後就算莊家補爆,也不會退還回籌碼。

單純以玩家補牌的機率來看,上面所說的原因並沒有錯,但在賭桌上仍然有不少玩家會依照基本策略而選擇補牌,那就來聊聊基本策略的邏輯吧。

先來看看這張表:

  莊家最後點數的機率
17 18 19 20 21 Blackjack 爆牌
莊家牌面 A 0.130017 0.130822 0.130594 0.13091 0.053504 0.308682 0.115473
2 0.139656 0.134389 0.13002 0.124019 0.118413 0 0.353504
3 0.134296 0.130539 0.125226 0.120817 0.114928 0 0.374194
4 0.130556 0.124062 0.121272 0.116441 0.111866 0 0.395805
5 0.121843 0.122437 0.117575 0.111793 0.107945 0 0.418406
6 0.165707 0.106194 0.106431 0.101551 0.097276 0 0.422842
7 0.369208 0.137931 0.078428 0.078682 0.073816 0 0.261936
8 0.12894 0.359955 0.128723 0.069219 0.06947 0 0.243693
9 0.12031 0.117348 0.351854 0.120368 0.060877 0 0.229242
10 0.111914 0.111669 0.111945 0.340014 0.034817 0.07717

0.212471

上面這張表的數字就是莊家拿到各個牌面、補成最後點數的機率,這個表格是以6副牌、莊家有底牌的美式21點、在莊家檢查是否有Blackjack前所計算出來的。

因為莊家必須補至17點或17點以上,以玩家拿15點、面對莊家7點牌面這賭局來說,如果選擇停牌的話,要贏錢就只能期待莊家補爆了,那機率約26.19%,而玩家選擇補牌的話,有42%的機率不會補爆牌(這還沒有加計玩家補第二張、甚至更多張牌仍沒爆牌的機率),這機率比莊家爆牌的26.19%的機率還高,因為基本策略的邏輯是相對機率的關係,所以基本策略會建議補牌。

應該會有人問,玩家面對這樣的牌局,就算沒補爆,也不一定會贏,但就基本策略來說,玩家沒補爆的機率已經比停牌等待莊家補爆的機率來得高了,再加上沒補爆時,可能的贏及和局的機率,那玩家輸的機率是不是就比選擇停牌而輸的機率(73.81%)來的低些了呢?

上面所說的機率,有興趣的人可以自己算一下,應該可以算出玩家拿到各個點數、面對莊家不同牌面時,玩家贏的機率(P)、輸的機率(Q)及和局的機率(1-P-Q),那就可以來計算期望值了。

因為和局是沒有輸贏的,那玩家的期望值的計算方式就是X*P-X*Q,其中X就是玩家下注的金額。

我是懶得去計算那機率了,就從The Wizard of Odds中的Blackjack Hand    Calculator來計算這些期望值。

以玩家拿15點、面對莊家7點牌面來看期望值。

  莊家牌面:7
玩家點數:15 投降 -0.500000
停牌 -0.475618
補牌 -0.369137
Double -0.747364

上面這個表就你每把牌局下注1元,做每一個選擇下的期望值,如果你選擇的是停牌,那每下注1元,長期的期望值是輸0.475618元,從上面這表格看,每把下注1元,長期來說,補牌會比停牌少輸0.106481元,這就是依照基本策略打21點的人,拿到15點、面對莊家7點牌面時,會選擇補牌的原因了。

再來看看一些牌局的期望值吧。

先看玩家拿12點、面對莊家5點牌面的狀況吧,因為我在賭桌上,還滿常看到有玩家這時會選擇補牌,原因就是12點太小了,應該要把自己的牌補成接近21點,才有贏的機會,那就來看看期望值吧。

  莊家牌面:5
玩家點數:12 投降 -0.500000
停牌 -0.164524
補牌 -0.189785
Double -0.379571

從這些期望值看,如果平均下注1元,長期來說停牌比補牌少輸0.025261元,這裡要說的是,很多對於21點不熟悉的人,都會認為要把自己的牌補到接近21點,才有贏的機會,但是,21點這賭戲之所以有趣,在於不一定要把自己的牌補到最大,有時即便不補牌、等待莊家補爆,一樣也能贏,這就是我曾經在賭桌上提醒其他玩家的邏輯、當然也是基本策略的邏輯囉。

但是當玩家拿12點、面對莊家3點牌面時,基本策略的選擇就不同了。

  莊家牌面:3
玩家點數:12 投降 -0.500000
停牌 -0.253950
補牌 -0.231939
Double -0.463878

這邏輯很簡單,就是莊家3點牌面補爆的機率比5點牌面低而已,那玩家拿12點時,補牌會相對有利些。

再來看玩家拿15點、面對莊家10點牌面的狀況,就我在賭桌上玩的經驗,玩家補牌、停牌的情況是各半,但很多玩家卻忽略了有投降這個選擇了,先看看期望值吧。

  莊家牌面:10
玩家點數:15 投降 -0.500000
停牌 -0.576028
補牌 -0.543461
Double -1.087436

因為投降輸一半,當玩家選擇投降時,Dealer就會收走玩家的籌碼、再給玩家一半的籌碼,那之後莊家補成什麼點數,就跟玩家無關了,所以期望值的計算就很簡單。

以上面的期望值來看,玩家選擇投降是負期望值最少的,當然就是選擇投降囉,如果賭場的賭規不允許投降的話,那選擇補牌的負期望值會比停牌少一些。

再看一個我覺得滿有趣的牌局,就是玩家拿一對8、面對莊家10點牌面時,因為我曾經在賭場犯過錯,回到家才發現,然後我就冒出一身冷汗了。

要談這牌局,得先說一下賭場的賭規有分莊家有底牌的美式21點及莊家無底牌的歐式21點(ENHC),這2種賭規的差別在於美式21點是莊家會先檢查有沒有Blackjack後,玩家才補牌,先看2種賭規下的期望值吧。

這是歐式21點的期望值:

  莊家牌面:10
玩家的牌:8、8 投降 -0.500000
停牌 -0.573568
補牌 -0.572399
Double -1.144798
分牌 -0.617785

這是美式21點的期望值:

  莊家牌面:10
玩家的牌:8、8 投降 -0.500000
停牌 -0.537752
補牌 -0.536485
Double -1.072970
分牌 -0.477139

因為賭規的不同,在這樣的牌局中,基本策略的選擇就不同了,在歐式21點時,選擇投降是負期望值最小的,但在美式21點時,卻是選擇分牌才有較低的負期望值,這其中的差異就請看一下我之前賭遊文章中的解釋吧。

接著再聊一些賭倍的狀況好了,在賭場中,21點這賭戲就是因為有賭倍、分牌、甚至分牌後賭倍的關係,如果玩的策略正確,是可以有著比其他賭戲低的House Edge(賭場贏的期望值),接下來再聊玩家拿9點、面對莊家7點牌面的賭局吧,因為我還滿常在賭桌上遇到有玩家選擇賭倍,那就來看期望值如何囉。

  莊家牌面:7
玩家點數:9 投降 -0.500000
停牌 -0.474889
補牌 0.175175
Double 0.144653

上面這數字大家得仔細看了,因為選擇停牌是負的期望值,但選擇補牌卻是正的期望值,基本策略在這牌局中的邏輯是,玩家有超過一半的機率可以補成17~20點(補到8、9、10、3張公仔、A)、且莊家補成17、18點的機率較高(補到10、A),那玩家補牌後贏的機率就已經較高了,而補倍的話,玩家只能補一張牌,如果補到2~7點時,反而對玩家不利,即使賭倍是21點這賭戲中,玩家可以提高期望值的策略,但在這牌局,賭倍的期望值會是低於補牌,當然基本策略就是補牌囉。

再來看玩家拿8點、面對莊家6點牌面的狀況,因為我也很常看到有玩家選擇賭倍的,先看期望值吧。

  莊家牌面:6
玩家點數:8 投降 -0.500000
停牌 -0.149119
補牌 0.120735
Double 0.099125

雖說賭倍是在21點賭桌上,玩家可以透過賭倍及分牌來降低House Edge,但在這樣的牌局中,玩家平均下注1元,長期來說,補牌期望值還比賭倍多了0.02161元,這就是為什麼遇到這種莊家爆牌機率較高的牌局時,基本策略仍然選擇補牌的原因了。

前面一直說期望值、期望值,可能還有人會覺得有點模糊,那我就再回到機率來談好了,任何一把牌局,玩家會有三種結果:贏、輸、和局,這三種結果的機率分別是P、Q、(1-P-Q),完整的期望值計算應該是P-Q+0*(1-P-Q),再乘上下注的金額,因為和局是沒有輸贏的,這計算就可以簡化成P-Q,任一把牌局玩家有正期望值時,代表玩家在那把牌局贏的機率大於輸的機率,反過來看,玩家有負期望值時,就是輸的機率大於贏的機率了,在補牌、停牌、賭倍、分牌、甚至投降這些選擇之間,正期望值變大或是負期望值變小,都表示玩家在那把牌局贏的機率提高了。

我想上面所說的應該讓大多數的人有更清楚的概念了吧,那就來聊聊一把我曾經在賭桌上遇到的經驗,玩家拿A6(Soft 17、軟17)、面對莊家7點牌面,當時同桌有玩家跟我說,A6已經是17點了,面對莊家7點牌面,是不應該補牌的。

先從最上面那個莊家補牌結果的表格來看,如果玩家拿A6選擇停牌,那輸贏的結果就是看莊家補牌結果的機率了,莊家最後會有三種結果:爆牌、18~21點、17點,這三種也就是玩家贏、輸、和局的結果,從最上面那表格看莊家這三種結果的機率分別是26.1936%、36.8857%、36.9208%,玩家選擇停牌的期望值就是0.261936-0.368857=-0.106921。

如果玩家選擇補牌的話,補一張牌的情況下,會有8張牌(A、2、3、4、10、3張公仔)可以讓玩家補成17點或17點以上,這機率已經是8/13(61.5384%),更何況還有補到其他的牌而最後沒有爆的機率,直接來看期望值的表格吧。

  莊家牌面:7
玩家點數:A6 投降 -0.500000
停牌 -0.103826
補牌 0.054706
Double -0.008857

這表格中,停牌的期望值跟我上面算的有點差異,那是因為最上面那張莊家最後結果的表格中,是沒有計算玩家補牌後,某些牌變少的情況,而在這個表格的計算是有把玩家補掉的牌扣掉,所以才會有些微的差異,但從這個表格來看,玩家補牌還有正的期望值,就表示玩家補牌贏的機率大於停牌的機率,長期下來,就是選擇補牌會較有利。

再看一把同樣是玩家拿Soft Hand的情況:玩家拿A7、面對莊家9點牌面,我還滿常看到有玩家選擇停牌的,原因就是A7已經是18點了,不需要再冒風險補牌了,那就看期望值吧。

  莊家牌面:9
玩家點數:A7 投降 -0.500000
停牌 -0.182640
補牌 -0.098469
Double -0.284825

這把牌的邏輯跟上一把一樣,機率的計算就留給有興趣的人自己算了。

因為在賭桌上,常看到很多玩家不願意分牌,原因就是分牌後,如果輸的話,就會多輸一注籌碼,很多玩家就不願意冒這個風險,但很多時候,又會看到玩家分一對10點,就來看看分牌的期望值吧。

以玩家拿一對3、面對莊家7點牌面來看。

  莊家牌面:7
玩家的牌:3、3 投降 -0.500000
停牌 -0.473963
補牌 -0.153797
Double -0.890244
分牌 -0.108467

上面這個表是以賭規不允許分牌後賭倍的情況下計算出來的,如果賭規允許分牌後賭倍,那玩家分牌後的期望值會再低一些,不管怎麼樣,很明顯的是玩家選擇分牌,長期會較有利些。

再以玩家拿一對10點(這是假設玩家拿到的是10、J、Q、K中的任2張牌都可以分牌,不一定要一樣的2張10點)、面對莊家6點的牌面。

  莊家牌面:6
玩家的牌:10、Q 投降 -0.500000
停牌 0.702826
補牌 -0.852263
Double -1.704526
分牌 0.501678

看了這個表格後,我想應該不用再多解釋了吧。

如果有興趣瞭解更多牌局的期望值,可以自己上The Wizard of Odds的網站用計算器看。

上面聊了一些基本策略的邏輯,以及不照基本策略的玩家邏輯,不管是不是依照基本策略來玩21點,從各自的角度來看,其實都沒有對錯,畢竟各自看的角度不同罷了,既然看的角度不同,那也就沒必要評論其他人玩法的對錯了。

上面所談的期望值,是依照補牌的可能狀況計算出統計學上的機率,所以長期來說,玩家的期望值會接近這些統計學上的數字,不代表每一把牌的結果都是如此,如果看到有正期望值的牌局,也就不要認為每一次玩那牌局都能贏錢。

如果是久久一次路過賭場而進去玩個幾把的人,需不需要照基本策略玩,就看自己怎麼想了,畢竟基本策略只是就長期來說,相對較適當的玩法,當然不是穩贏或必勝的策略,但如果是很常到賭場玩21點的人,就得考慮一下你的策略長期對你輸贏期望值的影響了。

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