JON的浮游閒語人生

今天終於心血來潮，可以寫這篇了。

先以玩家拿15點、面對莊家7點牌面聊聊吧。

滿多玩家面對這樣的牌局，會選擇停牌，原因不外乎玩家補爆牌的機率太高(約58%)、就算沒補爆也不一定會贏，以及玩家補爆後，籌碼就被Dealer收走了，之後就算莊家補爆，也不會退還回籌碼。

單純以玩家補牌的機率來看，上面所說的原因並沒有錯，但在賭桌上仍然有不少玩家會依照基本策略而選擇補牌，那就來聊聊基本策略的邏輯吧。

先來看看這張表：

上面這張表的數字就是莊家拿到各個牌面、補成最後點數的機率，這個表格是以6副牌、莊家有底牌的美式21點、在莊家檢查是否有Blackjack前所計算出來的。

因為莊家必須補至17點或17點以上，以玩家拿15點、面對莊家7點牌面這賭局來說，如果選擇停牌的話，要贏錢就只能期待莊家補爆了，那機率約26.19%，而玩家選擇補牌的話，有42%的機率不會補爆牌(這還沒有加計玩家補第二張、甚至更多張牌仍沒爆牌的機率)，這機率比莊家爆牌的26.19%的機率還高，因為基本策略的邏輯是相對機率的關係，所以基本策略會建議補牌。

應該會有人問，玩家面對這樣的牌局，就算沒補爆，也不一定會贏，但就基本策略來說，玩家沒補爆的機率已經比停牌等待莊家補爆的機率來得高了，再加上沒補爆時，可能的贏及和局的機率，那玩家輸的機率是不是就比選擇停牌而輸的機率(73.81%)來的低些了呢？

上面所說的機率，有興趣的人可以自己算一下，應該可以算出玩家拿到各個點數、面對莊家不同牌面時，玩家贏的機率(P)、輸的機率(Q)及和局的機率(1-P-Q)，那就可以來計算期望值了。

因為和局是沒有輸贏的，那玩家的期望值的計算方式就是X*P-X*Q，其中X就是玩家下注的金額。

我是懶得去計算那機率了，就從The Wizard of Odds中的Blackjack Hand    Calculator來計算這些期望值。

以玩家拿15點、面對莊家7點牌面來看期望值。

上面這個表就你每把牌局下注1元，做每一個選擇下的期望值，如果你選擇的是停牌，那每下注1元，長期的期望值是輸0.475618元，從上面這表格看，每把下注1元，長期來說，補牌會比停牌少輸0.106481元，這就是依照基本策略打21點的人，拿到15點、面對莊家7點牌面時，會選擇補牌的原因了。

再來看看一些牌局的期望值吧。

先看玩家拿12點、面對莊家5點牌面的狀況吧，因為我在賭桌上，還滿常看到有玩家這時會選擇補牌，原因就是12點太小了，應該要把自己的牌補成接近21點，才有贏的機會，那就來看看期望值吧。

從這些期望值看，如果平均下注1元，長期來說停牌比補牌少輸0.025261元，這裡要說的是，很多對於21點不熟悉的人，都會認為要把自己的牌補到接近21點，才有贏的機會，但是，21點這賭戲之所以有趣，在於不一定要把自己的牌補到最大，有時即便不補牌、等待莊家補爆，一樣也能贏，這就是我曾經在賭桌上提醒其他玩家的邏輯、當然也是基本策略的邏輯囉。

但是當玩家拿12點、面對莊家3點牌面時，基本策略的選擇就不同了。

這邏輯很簡單，就是莊家3點牌面補爆的機率比5點牌面低而已，那玩家拿12點時，補牌會相對有利些。

再來看玩家拿15點、面對莊家10點牌面的狀況，就我在賭桌上玩的經驗，玩家補牌、停牌的情況是各半，但很多玩家卻忽略了有投降這個選擇了，先看看期望值吧。

因為投降輸一半，當玩家選擇投降時，Dealer就會收走玩家的籌碼、再給玩家一半的籌碼，那之後莊家補成什麼點數，就跟玩家無關了，所以期望值的計算就很簡單。

以上面的期望值來看，玩家選擇投降是負期望值最少的，當然就是選擇投降囉，如果賭場的賭規不允許投降的話，那選擇補牌的負期望值會比停牌少一些。

再看一個我覺得滿有趣的牌局，就是玩家拿一對8、面對莊家10點牌面時，因為我曾經在賭場犯過錯，回到家才發現，然後我就冒出一身冷汗了。

要談這牌局，得先說一下賭場的賭規有分莊家有底牌的美式21點及莊家無底牌的歐式21點(ENHC)，這2種賭規的差別在於美式21點是莊家會先檢查有沒有Blackjack後，玩家才補牌，先看2種賭規下的期望值吧。

這是歐式21點的期望值：

這是美式21點的期望值：

因為賭規的不同，在這樣的牌局中，基本策略的選擇就不同了，在歐式21點時，選擇投降是負期望值最小的，但在美式21點時，卻是選擇分牌才有較低的負期望值，這其中的差異就請看一下我之前賭遊文章中的解釋吧。

接著再聊一些賭倍的狀況好了，在賭場中，21點這賭戲就是因為有賭倍、分牌、甚至分牌後賭倍的關係，如果玩的策略正確，是可以有著比其他賭戲低的House Edge(賭場贏的期望值)，接下來再聊玩家拿9點、面對莊家7點牌面的賭局吧，因為我還滿常在賭桌上遇到有玩家選擇賭倍，那就來看期望值如何囉。

上面這數字大家得仔細看了，因為選擇停牌是負的期望值，但選擇補牌卻是正的期望值，基本策略在這牌局中的邏輯是，玩家有超過一半的機率可以補成17~20點(補到8、9、10、3張公仔、A)、且莊家補成17、18點的機率較高(補到10、A)，那玩家補牌後贏的機率就已經較高了，而補倍的話，玩家只能補一張牌，如果補到2~7點時，反而對玩家不利，即使賭倍是21點這賭戲中，玩家可以提高期望值的策略，但在這牌局，賭倍的期望值會是低於補牌，當然基本策略就是補牌囉。

再來看玩家拿8點、面對莊家6點牌面的狀況，因為我也很常看到有玩家選擇賭倍的，先看期望值吧。

雖說賭倍是在21點賭桌上，玩家可以透過賭倍及分牌來降低House Edge，但在這樣的牌局中，玩家平均下注1元，長期來說，補牌期望值還比賭倍多了0.02161元，這就是為什麼遇到這種莊家爆牌機率較高的牌局時，基本策略仍然選擇補牌的原因了。

前面一直說期望值、期望值，可能還有人會覺得有點模糊，那我就再回到機率來談好了，任何一把牌局，玩家會有三種結果：贏、輸、和局，這三種結果的機率分別是P、Q、(1-P-Q)，完整的期望值計算應該是P-Q+0*(1-P-Q)，再乘上下注的金額，因為和局是沒有輸贏的，這計算就可以簡化成P-Q，任一把牌局玩家有正期望值時，代表玩家在那把牌局贏的機率大於輸的機率，反過來看，玩家有負期望值時，就是輸的機率大於贏的機率了，在補牌、停牌、賭倍、分牌、甚至投降這些選擇之間，正期望值變大或是負期望值變小，都表示玩家在那把牌局贏的機率提高了。

我想上面所說的應該讓大多數的人有更清楚的概念了吧，那就來聊聊一把我曾經在賭桌上遇到的經驗，玩家拿A6(Soft 17、軟17)、面對莊家7點牌面，當時同桌有玩家跟我說，A6已經是17點了，面對莊家7點牌面，是不應該補牌的。

先從最上面那個莊家補牌結果的表格來看，如果玩家拿A6選擇停牌，那輸贏的結果就是看莊家補牌結果的機率了，莊家最後會有三種結果：爆牌、18~21點、17點，這三種也就是玩家贏、輸、和局的結果，從最上面那表格看莊家這三種結果的機率分別是26.1936%、36.8857%、36.9208%，玩家選擇停牌的期望值就是0.261936-0.368857=-0.106921。

如果玩家選擇補牌的話，補一張牌的情況下，會有8張牌(A、2、3、4、10、3張公仔)可以讓玩家補成17點或17點以上，這機率已經是8/13(61.5384%)，更何況還有補到其他的牌而最後沒有爆的機率，直接來看期望值的表格吧。

這表格中，停牌的期望值跟我上面算的有點差異，那是因為最上面那張莊家最後結果的表格中，是沒有計算玩家補牌後，某些牌變少的情況，而在這個表格的計算是有把玩家補掉的牌扣掉，所以才會有些微的差異，但從這個表格來看，玩家補牌還有正的期望值，就表示玩家補牌贏的機率大於停牌的機率，長期下來，就是選擇補牌會較有利。

再看一把同樣是玩家拿Soft Hand的情況：玩家拿A7、面對莊家9點牌面，我還滿常看到有玩家選擇停牌的，原因就是A7已經是18點了，不需要再冒風險補牌了，那就看期望值吧。

這把牌的邏輯跟上一把一樣，機率的計算就留給有興趣的人自己算了。

因為在賭桌上，常看到很多玩家不願意分牌，原因就是分牌後，如果輸的話，就會多輸一注籌碼，很多玩家就不願意冒這個風險，但很多時候，又會看到玩家分一對10點，就來看看分牌的期望值吧。

以玩家拿一對3、面對莊家7點牌面來看。

上面這個表是以賭規不允許分牌後賭倍的情況下計算出來的，如果賭規允許分牌後賭倍，那玩家分牌後的期望值會再低一些，不管怎麼樣，很明顯的是玩家選擇分牌，長期會較有利些。

再以玩家拿一對10點(這是假設玩家拿到的是10、J、Q、K中的任2張牌都可以分牌，不一定要一樣的2張10點)、面對莊家6點的牌面。

看了這個表格後，我想應該不用再多解釋了吧。

如果有興趣瞭解更多牌局的期望值，可以自己上The Wizard of Odds的網站用計算器看。

上面聊了一些基本策略的邏輯，以及不照基本策略的玩家邏輯，不管是不是依照基本策略來玩21點，從各自的角度來看，其實都沒有對錯，畢竟各自看的角度不同罷了，既然看的角度不同，那也就沒必要評論其他人玩法的對錯了。

上面所談的期望值，是依照補牌的可能狀況計算出統計學上的機率，所以長期來說，玩家的期望值會接近這些統計學上的數字，不代表每一把牌的結果都是如此，如果看到有正期望值的牌局，也就不要認為每一次玩那牌局都能贏錢。

如果是久久一次路過賭場而進去玩個幾把的人，需不需要照基本策略玩，就看自己怎麼想了，畢竟基本策略只是就長期來說，相對較適當的玩法，當然不是穩贏或必勝的策略，但如果是很常到賭場玩21點的人，就得考慮一下你的策略長期對你輸贏期望值的影響了。